Theorem : The intersection of a finite number of convex sets is also convex.
Proof
<1>
집합 Ａ, Ｂ를 convex라고 하자.
임의의 ａ,ｂ∈Ａ∩Ｂ에 대해, Ａ가 convex 이므로 정의에 의해
ａα＋ｂ(１－α)∈Ａ (０≤α≤１)
이다. 마찬가지로 Ｂ가 convex 이므로
ａα＋ｂ(１－α)∈Ｂ
이다. 따라서
ａα＋ｂ(１－α)∈Ａ∩Ｂ
이다. 그러므로 정의에 의해서 Ａ∩Ｂ는 convex set이다.
<2>
i) 임의의 두 convex set에 대해 그 교집합도 convex set이다. (<1>에 의해)
ii) 임의의 n개의 convex set들에 대해 그 교집합이 convex set이라고 하면
Ｂ＝Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩……∩Ａ(n)∩Ａ(n+1) (Ａ(i)는 convex set)
여기서
Ｃ＝Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩……∩Ａ(n)
인 Ｃ는 가정에 의해 convex set이다.
Ｂ＝Ｃ∩Ａ(n+1)
에서 Ｃ와 Ａ(n+1)는 convex set이므로 i)에 의해서 Ｂ도 convex set이다.
i),ii)에 의해서 임의의 convex set들에 대해서 그 교집합도 역시 convex이다.
워.....
Proof
<1>
집합 Ａ, Ｂ를 convex라고 하자.
임의의 ａ,ｂ∈Ａ∩Ｂ에 대해, Ａ가 convex 이므로 정의에 의해
ａα＋ｂ(１－α)∈Ａ (０≤α≤１)
이다. 마찬가지로 Ｂ가 convex 이므로
ａα＋ｂ(１－α)∈Ｂ
이다. 따라서
ａα＋ｂ(１－α)∈Ａ∩Ｂ
이다. 그러므로 정의에 의해서 Ａ∩Ｂ는 convex set이다.
<2>
i) 임의의 두 convex set에 대해 그 교집합도 convex set이다. (<1>에 의해)
ii) 임의의 n개의 convex set들에 대해 그 교집합이 convex set이라고 하면
Ｂ＝Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩……∩Ａ(n)∩Ａ(n+1) (Ａ(i)는 convex set)
여기서
Ｃ＝Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩……∩Ａ(n)
인 Ｃ는 가정에 의해 convex set이다.
Ｂ＝Ｃ∩Ａ(n+1)
에서 Ｃ와 Ａ(n+1)는 convex set이므로 i)에 의해서 Ｂ도 convex set이다.
i),ii)에 의해서 임의의 convex set들에 대해서 그 교집합도 역시 convex이다.
워.....
